Užívateľský manuál

Exponenciálne vyrovnávanie

Metóda exponenciálneho vyrovnávania je najviac používanou prognostickou metódou pre jej výpočtovú jednoduchosť a predovšetkým pre schopnosť rýchleho reagovania na posledné zmeny hodnôt časového radu. Metodika zohľadňuje minulý vývoj sledovanej veličiny pomocou jej vážených priemerov.

Definujeme exponenciálne vyrovnávanie v čase t pomocou nasledovného vzorca:

Kde:

• St – exponenciálny priemer v čase t
• α – vyrovnávajúca konštanta z intervalu <0,1>;
• ß = 1 – α – doplnková váha
• N – dĺžka časového radu
• k – vek pozorovaní (poradie v minulosti)

Ak je časový rad dostatočne dlhý, člen ßⁿS₀ z posledného výrazu možno vynechať. Potom vzorec predstavuje vážený súčet všetkých členov časového radu s exponenciálne klesajúcimi váhami:

Voľba vyrovnávajúcej konštanty

Voľbou vyrovnávacej konštanty α je určovaná rýchlosť prispôsobovania ďalšej predpovede k aktuálnej chybe predpovede. Ak je α vysoké, nová predpoveď silno reaguje na posledné pozorovanie. Naopak, ak je α blízko nuly, nové hodnoty sa viac spoliehajú na predchádzajúci trend.

Pri požiadavke na stabilitu modelu volíme nižšie hodnoty α. Ak požadujeme rýchlu reakciu na zmeny, volíme α vyššie. V literatúre sa často odporúča, aby α nepresahovala hodnotu 0,3.

Typy vyrovnávania podľa trendu

• Bez sezónnosti:
  • Konštantný trend – Brownovo jednoduché exponenciálne vyrovnávanie
  • Lineárny trend – Brownovo dvojité exponenciálne vyrovnávanie, Holtovo vyrovnávanie (2 konštanty)
  • Kvadratický trend – Trojité exponenciálne vyrovnávanie
• So sezónnou zložkou:
  • Holt-Wintersovo exponenciálne vyrovnávanie

Holt-Wintersov model

Pri použití Holt-Wintersovho exponenciálneho vyrovnávania sa predpokladá, že v čase t = 1, 2, 3, …, T je možné časový rad rozdeliť na lokálne lineárne trendy s konštantnou alebo multiplikatívnou sezónnosťou.

Aditívny model:

Multiplikatívny model:

Kde:

• b₀ – parameter úrovne lineárneho modelu
• b₁ – parameter smernice (sklonu) trendu
• εₜ – náhodná zložka
• t – časová premenná
• Sₜ – sezónny index/priemer v čase t

Pre sezónne priemery musí platiť:

Pre sezónne indexy musí platiť:

Vyrovnávajúce rovnice (α, β, γ)

V Holt-Wintersovom modeli používame tri vyrovnávajúce konštanty:

• α – pre úroveň (hladinu)
• β – pre trend
• γ – pre sezónnosť

Aditívny model – vyrovnávacie rovnice

Prognózovanie (aditívny model):

---

Multiplikatívny model – vyrovnávacie rovnice

Prognózovanie (multiplikatívny model):

Exponenciálne vyrovnávanie v R – nesezónne dáta

Najznámejšia funkcia v R pre exponenciálne vyrovnávanie je HoltWinters(), ktorá dokáže pracovať so sezónnymi aj nesezónnymi dátami. Je súčasťou základného R, takže netreba inštalovať žiadne balíky.

Parametre funkcie:

• x – dáta časového radu
• alpha, beta, gamma – vyrovnávajúce konštanty
• seasonal – spôsob sezónnosti („additive“ alebo „multiplicative“). Funguje iba ak gamma ≠ FALSE

---

Príklad – nesezónne dáta

Ukážka použitia funkcie HoltWinters pre časový rad bez sezónnosti:

Exponenciálne vyrovnávanie v R – sezónne dáta

Aj pri dátach so sezónnosťou môžeme použiť funkciu HoltWinters(). Stačí zabezpečiť správny formát časového radu – najčastejšie mesačný (frekvencia 12).

Dáta použité v tomto príklade nájdete tu: Odkazy na použité a reálne dáta

# odhad modelu HW (červená čiara v grafe) c(yt.hw$fitted[,"xhat"])

Zdroje:
Polívka, L.: DIPLOMOVÁ PRÁCA: Moderné prognostické metódy v modelovaní podnikových procesov. 2010
Zucchini, W., Nenadi, O.: Time Series Analysis with R – Part I [4.6. 2015]