Užívateľský manuál

PACF funkcia v R

Podobne ako pri ACF, aj PACF (parciálna autokorelácia) umožňuje identifikovať vhodný AR (autoregresný) člen modelu. Slúži na určenie priameho vplyvu konkrétnych predchádzajúcich hodnôt bez sprostredkovania cez iné.

V R môžeme funkciu použiť nasledovne:

pacf(x, lag.max = NULL, plot = TRUE, na.action = na.fail, ...)
  

Príklad výpočtu a uloženia výstupu do premennej:

pacf1 = pacf(yt)
  

Vypísanie koeficientov parciálnej autokorelácie:

Partial autocorrelations of series ‘yt’, by lag

Lag:   1     2     3     4     5     6     7     8     9    10    11
      0.494 -0.388 -0.060 -0.149  0.133  0.163 -0.127 -0.062  0.065 -0.018 -0.034
     12    13    14    15    16    17    18    19    20
    -0.004 -0.104 -0.072 -0.022 -0.100 -0.052 -0.005  0.164  0.053
  

Vizualizácia parciálneho korelogramu:

plot(pacf1[1:100])
  

Poznámka: Keďže pacf() nezačína od lag 0, nemusíme odstraňovať prvý posun ako pri ACF. Výsledný korelogram vizualizuje priamy vplyv jednotlivých časových posunov.

Identifikácia ARIMA modelu a stacionarita časového radu

Identifikácia správneho ARIMA modelu sa často začína analýzou ACF a PACF. Podľa ich priebehov môžeme odhadnúť, či ide o model typu AR(p), MA(q) alebo ARMA(p, q).

Príklad: Na základe správania PACF (dva výrazné koeficienty) môžeme identifikovať model AR(2).

Nie vždy je identifikácia jednoznačná, preto môžeme použiť AIC kritérium (Akaike Information Criterion). Nižšia hodnota AIC znamená lepší model. V R sa počíta automaticky pri odhade parametrov modelu.

Stacionarita časového radu

Stacionarita je nevyhnutná podmienka pre použitie ARMA modelov. Overuje sa viacerými spôsobmi:

• Analýza tvaru ACF (dlhé pomalé klesanie často značí nestacionaritu)
• KPSS test na úroveň stacionarity

kpss.test(yt)
  

Výsledok: Ak je p-value > hladina významnosti, stacionarita sa nepotvrdzuje – rad je stacionárny.

Úprava nestacionárneho radu

Ak časový rad nie je stacionárny, môžeme ho transformovať pomocou:

• Odstránenia trendu: detrend(yt)
• Logaritmovania: log(yt)
• Diferencovania: diff(yt)
• alebo ich kombináciou (napr. logovanie + diferenciácia)

Po úprave je vhodné znova overiť stacionaritu.

Odhad parametrov ARIMA modelu

Po identifikácii a stacionarizácii časového radu nasleduje odhad parametrov modelu. V R na to slúži funkcia arima(), ktorá má viacero parametrov, no najdôležitejšie sú:

• x – časový rad (napr. yt)
• order = c(p, d, q) – kde p je stupeň AR, d stupeň diferencie, q stupeň MA

Príklad odhadu modelu AR(2):

ar2 = arima(yt, order = c(2, 0, 0))
ar2
  

Výstup:

arima(x = yt, order = c(2, 0, 0))

Coefficients:
      ar1      ar2  intercept 
   0.7108  -0.4249   28.6500 
s.e. 0.0923 0.0936   0.4559

sigma^2 estimated as 10.55:  log likelihood = -260.02,  aic = 528.04
  

Získanie konkrétnych parametrov modelu:

ar2$coef
# Výstup:
# ar1       ar2    intercept 
# 0.7108021 -0.4248993 28.6500239
  

Porovnanie modelov pomocou AIC

Hodnota AIC (Akaike Information Criterion) slúži na porovnanie modelov – nižšia hodnota značí lepší model.

Vyskúšame alternatívny model ARMA(2,1):

ar3 = arima(yt, order = c(2, 0, 1))
ar3
  

Coefficients:
      ar1      ar2      ma1  intercept 
   0.8676  -0.4997  -0.1922   28.6525 
s.e. 0.2067 0.1187   0.2388   0.4161

sigma^2 estimated as 10.49:  log likelihood = -259.79,  aic = 529.57
  

Keďže hodnota AIC = 529.57 je vyššia ako pri predchádzajúcom modeli (528.04), pôvodný model AR(2) je lepší.

Kontrola reziduí modelu (ARCH test)

Po odhade parametrov modelu je dôležité overiť kvalitu reziduí. Jedným z nástrojov je ARCH test, ktorý zisťuje prítomnosť podmienenej heteroskedasticity v reziduách.

ARCH test je súčasťou balíka FinTS, ktorý je potrebné nainštalovať:

install.packages("FinTS")
library(FinTS)
  

Štruktúra testu:

ArchTest(x, lags = 12, demean = FALSE)
# kde:
# x - vektor reziduí
# lags - počet posunov (typicky 1, 5, 12)
  

Získanie reziduí z ARIMA modelu a aplikácia testu:

ArchTest(ar2$residuals, lags = 1)
  

Výstup testu:

ARCH LM-test; Null hypothesis: no ARCH effects

data: ar2$residuals
Chi-squared = 0.0573, df = 1, p-value = 0.8109
  

Keďže p-value = 0.8109 je väčšie ako typická hladina významnosti (napr. 0.05), reziduá neobsahujú ARCH efekt a teda model je z pohľadu reziduí v poriadku.

Predikcia časového radu (ARIMA)

Na prognózovanie hodnôt časového radu sa využíva funkcia predict(). Vstupnými parametrami sú odhadnutý ARIMA model a počet požadovaných predikovaných hodnôt.

prog = predict(ar2, 9)
  

Výstup z funkcie:

$pred – Predikované hodnoty:

Time Series:
Start = 101
End = 109
Frequency = 1
[1] 32.15551 29.53138 27.78701 27.66211 28.31450 28.83130 28.92144 28.76592 28.61708
  

$se – Štandardné chyby predikcie:

[1] 3.247405 3.984184 3.992717 4.071160 4.126931 4.129397 4.133579 4.138070 4.138477
  

Vykreslenie pôvodného a predikovaného radu do jedného grafu:

plot(yt, type = "b", xlim = c(0, 110))
lines(prog$pred, type = "b", col = "red")
  

Výsledný graf zobrazí historické hodnoty (čierne body/spojnice) a predikované hodnoty (červená čiara) pre nasledujúcich 9 období.

Predikované hodnoty modelu ARIMA

Na základe výstupu z funkcie predict() boli vypočítané nasledujúce predikované hodnoty pre najbližších 9 časových období:

32.15551
29.53138
27.78701
27.66211
28.31450
28.83130
28.92144
28.76592
28.61708
  

Tieto hodnoty predstavujú očakávaný vývoj časového radu podľa odhadnutého AR(2) modelu. Môžu slúžiť ako podklad pre prognózovanie alebo rozhodovanie v ekonomických a finančných aplikáciách.